保罗·列维的“黑天鹅”：离群值的物理学

导语

说起概率分布，高斯分布和泊松分布似乎是我们知道的一切，然而，列维分布实际上在自然现象中十分常见。一种被称为“列维飞行”（Lévy flight）的随机游走，可以很好地模拟动物觅食、股票价格波动、地震和湍流等现象。
研究领域：黑天鹅事件，概率论，随机游走，列维飞行

David D. Nolte | 作者

董佳欣 | 译者

梁金 | 审校

黑天鹅是罗马诗人尤韦纳尔（Juvenal）发明的一种神兽，用来比喻稀少到只能想象的事物，他的原文是“土地上的稀有鸟类，非常像黑天鹅”。
可以想象，1697年荷兰探险家威廉·德·弗拉明（Willem de Vlamingh）第一次在澳大利亚看到黑天鹅时的震惊。这个比喻演变成一种新的用法，指当一个广泛持有的信念（黑天鹅的不可能性）被新的观察结果驳倒。
例如，1870年生物学家托马斯·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）因热衷于捍卫达尔文的理论而被称为“达尔文的斗牛犬”，他在英国利物浦发表了一次演讲，Nature 杂志援引他的话：“……科学的伟大悲剧——一个丑陋的事实扼杀了一个美丽的假说。”
多年来，这句话在许多不同场合被引用和重复。
1973年，费舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出一个美丽的经济理论，作为在华尔街进行完美套期保值的一种方法，据称该理论没有风险，但却能保证股价大起大落时仍获得正收益。1994年，斯科尔斯和布莱克成立了一家投资公司，将这一美丽的理论变为现实，投资回报率达到令人难以置信的 40%。布莱克于1995年去世，斯科尔斯却在1997年获得诺贝尔经济学奖。第二年，该基金倒闭，令布莱克-斯科尔斯蒙羞的丑陋事实是黑天鹅。

黑天鹅

黑天鹅是指在一系列数据点中出现的异常测量。在黑天鹅事件发生前，数据点表现正常，遵循我们所期望的常规统计，可能是高斯分布，也可能是主导大多数变量现象的其他指数形式。
但黑天鹅出现了，它的数值出乎意料，与其他所有测量结果都不一样，以至于人们常常认为它是错误的，甚至可能将其丢弃，因为它破坏了原本不错的统计数据，这一数据点以不可忽略的方式扭曲了平均值和标准差。对于这种令人心烦的事件，人们的反应是获取更多数据，让平均值再次稳定下来…..直到另一个黑天鹅出现，再次偏离平均值。然而，这种异常值（outlier）往往不是虚假的测量结果，却是测量过程的自然组成部分，在不影响研究统计完整性的情况下，不应该也不可能将其剔除。
2007年，作家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其极具影响力的著作《黑天鹅：极不可能事件的影响》（The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable）中指出，无论是商业、新技术开发、选举还是金融市场行为，离群值现象几乎是现代生活方方面面的核心部分。看似表现良好的事物，一套产品、一个集体社会或一系列政府政策，突然被一项新发明、一项新法律、一项最高法院的错误判决、一场战争或股市崩盘破坏。
举例来说，让我们看看布莱克-斯科尔斯错在哪里。

华尔街的完美对冲

费舍尔·布莱克（1938-1995 年）是博士生导师的噩梦。他1959年本科毕业于哈佛大学物理系，但在研究生阶段转学数学，后来又转学计算机，再后来又转学人工智能，之后他因严重缺乏专注力而被哈佛大学研究生项目开除。于是，他加入兰德公司，在那里他有时间发挥自己的想法，最终找到麻省理工学院的马文·明斯基（Marvin Minsky），在后者的帮助指导下，写出一篇可接受的论文并被允许提交给哈佛大学应用数学博士项目。之后，他进入金融市场工作。
他对金融理论的著名贡献是1973年与拜伦·斯科尔斯合著的论文《期权和公司负债的定价》。套期保值是华尔街的古老传统，指经纪人卖出期权（在以后以给定的价格购买股票），假定股票会贬值（卖空），然后买入一定数量相同资产的股票（买多），作为价格上涨的保险。如果经纪人在足够多的多头股票和足够多的空头期权之间取得平衡，那么投资组合的价值就不会受到标的资产价值每日波动的影响。
这种投资组合就是叫做金融衍生产品（derivative）的一种金融工具。之所以叫衍生产品，是因为投资组合的价值来源于相关资产价值，其面临的挑战，是在到期前随时找到其“真实”价值。如果经纪人知道衍生品的“真实”价值，那么买卖衍生品就不会有风险。
要做到无风险，衍生品的价值就必须不受波动影响。这乍看起来是个难题，因为波动是随机的，无法预测。但实际上，解决方法恰恰依赖于这种随机性条件，如果股票价格的随机波动等同于平均收益率上叠加随机游走，那么就可以肆无忌惮地构建完美对冲。
要对标的资产进行套期保值，可以通过卖出一份看涨期权（卖空）和买入N股该资产（买多）来创建一个投资组合，作为对资产价值上涨可能性的保险。该投资组合的价值为

如果数字N选择正确，那么空头头寸和多头头寸就会平衡，投资组合就不会受到相关资产价格波动的影响。要找到N，请考虑变量波动时投资组合价值的变化

并利用伊藤公式（包含随机变量影响的随机微分方程）得出一个优雅的结果

请注意，最后一项包含波动，用随机项dW（随机游走）表示。可以通过选择

将波动归零，从而得到

对最后一个等式的重要观察是随机函数W已经消失，这是因为N份股票价格的波动平衡了空头期权的波动。
当经纪人买入期权，在期权到期时有一个保证收益率r，这个收益率是由无风险债券的价值决定的。因此，完全套期保值的价格必须随无风险收益率的上升而上升。这就是

或

联立两式可得

简化后，可得出V(S, t)的偏微分方程

布莱克-斯科尔斯方程 （Black-Scholes Equation）

布莱克-斯科尔斯方程是一个偏微分方程，在给定边界条件和时间的情况下，它的解定义了导数的“真实”值，并决定在t=0时以指定的保证收益率r（或者，在期权到期日T时指定的股票价格S(T)）买入多少股票。这是一个扩散方程，包含股票价格随时间的扩散。如果在到期日前的任何时间t出售衍生品，此时股票的价值为S，那么衍生品的价值由布莱克-斯科尔斯方程[1]的解V(S,t)给出。
该方程一个有趣的特点是没有标的资产的平均收益率μ。这意味着可以考虑任何价值的任何股票，即使该股票的收益率为负值！这种衍生品看起来就像是真正的无风险投资，即使股票价值下跌也能保证赚钱，这听起来似乎好得不像真的，当然，这确实是真的。
布莱克、肖尔斯和默顿。肖尔斯和默顿是 1997 年诺贝尔经济学奖得主
衍生品市场的成功（或失败）取决于对股票市场的基本假设。这些假设包括：股市不会出现剧烈调整、恐慌或非理性繁荣，即黑天鹅事件，但事实显然并非如此，想想繁荣和萧条就知道了。有效和理性市场模型，以及最终的布莱克-斯科尔斯方程，都假定市场波动受高斯随机统计的支配，然而，还有其他类型的统计与高斯统计一样表现良好，但也会出现黑天鹅事件。

稳定分布：黑天鹅是常态

当保罗·列维（Paul Lévy）（1886-1971年）于1919年应邀在巴黎综合理工学院发表三场关于随机变量的演讲时，概率论的数学理论还只是一种原理和证明的松散集合。从这些讲座中产生的，是他一生对这一领域的研究，如今这一领域已发展成为数学的主要分支之一，尽管二战期间他在维希法国的反犹主义环境中艰难前行，但在职业生涯中成就卓著，硕果累累。他的论文导师是著名的雅克·哈达玛（Jacques Hadamard），他的学生之一是著名的贝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）。
列维撰写了多本具有影响力的教科书，奠定了概率论的基础，他的名字几乎成为这一领域的代名词，其中一本著作是关于随机变量的加法理论[2]，他在书中扩展了稳定分布（stable distribution）的概念。
早年的保罗·列维。｜来源：Annales des Mines
概率论中，如果来自一个分布的两个独立随机变量之和具有相同的分布，那么这类分布就被称为稳定分布。正态分布（高斯分布）显然具有这一特性，因为两个正态分布的独立变量之和也是正态分布，方差和均值可能不同，但函数形式仍然是高斯分布。
图：保罗·列维的随机变量相加理论
概率分布的一般形式可以通过傅立叶变换得到，即

其中φ被称为概率分布的特征函数。稳定分布的一个特例是列维对称稳定分布，其计算公式为

参数为α和γ。这种情况下的特征函数称为拉伸指数函数，其长度标度由参数γ设定。
列维分布最重要的特点是在大数值时具有幂律尾部。例如，α=1时列维分布的特例是正值x的柯西分布，其公式为

在大数值时会随着x^-(α+1)而下降。柯西分布是可归一化的（概率积分为一），其特征尺度由γ设定，但它的均值是发散的，违反了中心极限定理[3]。对于满足中心极限定理的分布，增加分布的样本数可使均值收敛于一个有限值，然而，对于柯西分布来说，增加样本数会增加出现黑天鹅的几率，黑天鹅会使均值偏斜，在样本数无限多的情况下，均值会发散到无穷大。这就是为什么说柯西分布有一个“沉重的尾部”，它包含罕见但振幅较大的离群事件，这些事件会不断移动平均值。
下图显示了在α=1（柯西分布）和α=2（高斯分布）之间的列维稳定概率分布函数示例。即使在非常接近高斯分布的α=1.99的情况下，也可以看到严重的重尾现象。图中显示了α=1、α=1.4和α=2的二维列维随机游走的例子。在高斯分布的情况下，均方位移表现良好且有限，然而，所有其他情况下，均方位移都是发散的，这是因为当α接近1时，路径长度变大的可能性增大。

从α=1（柯西）到α=2（高斯）参数范围内的对称列维分布函数。α<2时的列维飞行具有细菌运动中经常出现的奔跑和翻滚行为。

列维概率分布函数的惊人之处在于，它们在自然现象中十分常见，几乎所有具有尺度不变性（scale invariance）的过程中都会出现严重的列维尾。然而，作为学生，我们几乎对它们视而不见，似乎泊松和高斯统计就是我们需要知道的一切，但无知并不是幸福。正是高斯统计假设导致了 Black-Scholes 模型的失败。
尺度不变过程通常是质量或能量自然级联的结果，因此作为中性现象出现。然而，在一些有偏现象中，列维过程会导致某种形式的优化，生物背景下的列维随机游走就是这种情况。

莱维随机游走

随机游走是统计物理学的基石之一，也是布朗运动的基础。爱因斯坦利用布朗运动推导出著名的扩散统计力学方程，证明分子物质的存在；让·佩林（Jean Perrin）因其对爱因斯坦理论的实验证明而获得诺贝尔奖；朗之万（Paul Langevin）利用布朗运动将随机微分方程引入统计物理学；而列维则利用布朗运动来说明数学概率论的应用，并写下了他最后一本颇具影响力的著作。
对随机游走的大多数研究都假定步长或速率为高斯或泊松统计，但当步长取自列维分布时，就会出现一种特殊形式的随机游走。这就是列维随机游走，贝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）（列维的学生）将其命名为“列维飞行”（Lévy Flight），并对其分形特征进行研究。
列维随机游走最初是作为理想数学模型来研究的，但近年来对其有许多发现，在动物觅食行为中观察到列维随机游走，甚至在细菌的奔跑和翻滚行为中也观察到列维随机游走，据推测，这种觅食策略能让动物对随机分布的食物来源进行最佳采样。有证据表明，分子在细胞内运输中存在列维行走，这可能源于拥挤的细胞内邻域内的随机运动。人们还观察到一种中间状态[4]，即细胞内的细胞器和囊泡在沿着细胞骨架附着、迁移和脱离驱动它们的分子马达时，可能具有列维行走的特征。

原文链接：

https://galileo-unbound.blog/2023/02/08/paul-levys-black-swan-the-physics-of-outliers/

参考书目选编Paul Lévy, Calcul des probabilités (Gauthier-Villars, Paris, 1925).Paul Lévy, Théorie de l’addition des variables aléatoires (Gauthier-Villars, Paris, 1937).Paul Lévy, Processus stochastique et mouvement brownien (Gauthier-Villars, Paris, 1948).R. Metzler, J. Klafter, The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Physics Reports-Review Section Of Physics Letters 339, 1-77 (2000).J. Klafter, I. M. Sokolov, First Steps in Random Walks : From Tools to Applications.  (Oxford University Press, 2011).F. Hoefling, T. Franosch, Anomalous transport in the crowded world of biological cells. Reports on Progress in Physics 76,  (2013).V. Zaburdaev, S. Denisov, J. Klafter, Levy walks. Reviews of Modern Physics 87, 483-530 (2015).
参考文献[1] Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654.[2] P. Lévy, Théorie de l’addition des variables aléatoire (1937)[3] The central limit theorem holds if the mean value of a number of N samples converges to a stable value as the number of samples increases to infinity.[4] H. Choi, K. Jeong, J. Zuponcic, E. Ximenes, J. Turek, M. Ladisch, D. D. Nolte, Phase-Sensitive Intracellular Doppler Fluctuation Spectroscopy. Physical Review Applied 15, 024043 (2021).

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